Wir haben jetzt angefangen uns ein bisschen mit Zahlen zu beschäftigen nach langer Vorbereitung

und zwar haben wir gestartet mit einem axiomatischen Aufbau der natürlichen

Zahlen mit den Peanoaxiomen, wobei das wesentliche Bestandteil dieser Peanoaxiome ist die Aussage

oder die Forderung, wenn eine Teilmenge der natürlichen Zahlen zwei Eigenschaften erfüllt,

nämlich dass die Null dazugehört und sie die Eigenschaft hat, wenn eine Zahl dazugehört,

auch immer ihr Nachfolger dazugehört, dann muss das schon die Gesamtheit der natürlichen Zahlen

sein. Das ist so die wesentliche Forderung und mit Hilfe dieser Eigenschaft haben wir aus der

Nachfolgeoperation erstmal eine Addition aufgebaut, so wie man sich das vorstellt,

eben addieren als mehrfaches plus eins rechnen, wenn man sagt die Nachfolgeoperation ist,

wie sich dann auch herausgestellt hat die Addition plus eins und dann mittels der Addition auch eine

Multiplikation und diese beiden Operationen haben erstmal für sich und in ihrer Interaktion all

die Eigenschaften, die wir uns vorstellen. Kommutativität, Assoziativität, Distributivität,

die Null ist das additivneutrale, die eins ist das Multiplikativneutrale, wir können in Gleichungen

gewissermaßen kürzen, all diese Dinge haben wir nicht in jedem Detail, aber prinzipiell verifiziert.

Jetzt fehlen noch zwei Dinge oder zwei weitere Strukturen, die wir auf den natürlichen Zahlen

oder auf jeder Zahlmenge haben, das stimmt nicht ganz, nicht auf jeder Zahlmenge haben wir das,

auf den komplexen Zahlen haben wir diese Struktur nicht, das eine ist der Abstand zweier Zahlen und

das andere ist die Ordnung, eine Ordnungsrelation und das wollen wir jetzt noch einführen und uns

nochmal die Eigenschaften vergegenwärtigen, sozusagen das Rechnen mit Ungleichungen,

was ja immer etwas unangenehmer ist als das Rechnen mit Gleichungen und dann mal schauen,

was wir mit den natürlichen Zahlen bis jetzt so anfangen können. Also was eine Ordnungsrelation

ist, das haben wir schon allgemein besprochen und die Behauptung in diesem Satz ist jetzt die

folgende, auf N0, auf den natürlichen Zahlen kann eine Ordnungsrelation eingeführt werden,

die schreiben wir ganz normal, wie wir es gewohnt sind, mit kleiner Gleich, mit den Eigenschaften,

dass mag sich nicht mit dem synchronisieren, da muss ich da mit einem anderen Presenter wechseln,

das liegt daran, dass das ein Magic Presenter ist und vielleicht hat er seinen Magic verloren,

sei es wie sei, machen wir es konventionell mit einem Laser, also was ist erst nochmal

eine Ordnungsrelation, da hatten wir gesagt, die soll folgende Eigenschaft haben, sie ist reflexiv,

es soll gelten N kleiner gleich N, das Element soll mit sich selbst in Relation stehen, sie ist

transitiv, das heißt also die Eigenschaft soll sich vererben in dem Sinne, wenn L kleiner gleich

M und M kleiner gleich N, dann ist auch L kleiner gleich N, immer für beliebige natürliche Zahlen L,

M, N. Sie ist antisymmetrisch, das heißt also, wenn beide Ungleichungen gelten, N kleiner gleich M

und M kleiner gleich N, dann kann das nur dann der Fall sein, wenn N gleich M ist. Das ist allgemein

der Begriff der Ordnungsrelation, also diese Eigenschaften wollen wir sehen und zusätzlich

ist die Behauptung, ist diese Ordnung sogar total, total geordnet, das heißt wir können immer für

zwei natürliche Zahlen N und M entscheiden, ob N kleiner gleich M oder M kleiner gleich N ist,

die Aussage ist, einer dieser beiden Fälle gilt immer. Okay, dann ist die Behauptung,

N ist größer gleich Null für alle, das könnte auch hier Null heißen, für alle natürlichen Zahlen,

das heißt also, man kann das auch so sagen, Null ist eine untere Schranke der natürlichen Zahlen

und weil sie dazugehört zu den natürlichen Zahlen, ist Null tatsächlich das Minimum der

natürlichen Zahlen. Später werden wir sehen, was auch irgendwie offensichtlich ist, aber eines

Beweises bedarf, dass jede Menge natürlicher Zahlen ein Minimum hat und damit stehen die

natürlichen Zahlen ziemlich einzigartig da, das gilt für alle anderen Zahlmengen, die wir kennen

nicht und das ist ein bisschen eine kleine technische Aussage, wo man auch sagen wird,

okay das ist doch selbstverständlich, wenn ich ein N habe, dann gibt es keine andere natürliche

Zahl, die echt zwischen N und seinem Nachfolger liegt, wobei jetzt dieses kleiner Zeichen, das

ist keine Ordnungsrelation, das soll also das echt Kleine bezeichnen, das bedeutet also kleiner

gleich, aber voneinander verschieben. So jetzt fehlt noch eine Eigenschaft, die dann schließlich

der Schlüssel zur Definition sein wird, das ist die Eigenschaft drei. Alles ein bisschen so eine

Ansammlung, wo sie jetzt sagen, natürlich gilt doch sowieso, aber wir müssen es halt erst mal,